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Álgebra A 62
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ÁLGEBRA A 62 UBA XXI
CÁTEDRA ESCAYOLA
7.
Analizar cada uno de los siguientes sistemas determinando, en cada caso, los valores de $k$ (si existen) que hacen que el sistema resulte compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible.
d) $\left\{\begin{aligned}7x+ky+(4+k)z&=12\\ 6x+ky+3z&=9\\ kx+(3-k)z&=3\end{aligned}\right.$
d) $\left\{\begin{aligned}7x+ky+(4+k)z&=12\\ 6x+ky+3z&=9\\ kx+(3-k)z&=3\end{aligned}\right.$
Respuesta
En este caso la matriz ampliada asociada al sistema es esta:
$\begin{pmatrix} 7 & k & 4+k & | & 12 \\ 6 & k & 3 & | & 9 \\ k & 0 & 3-k & | & 3 \end{pmatrix}$
Reportar problema
Atenti en este con las operaciones que vamos a hacer entre filas, hay que pensarlas un poco más despacito que en otros:
$7F_2 - 6 F_1 \Rightarrow F_2$
$7F_3 - kF_1 \Rightarrow F_3$
$\begin{pmatrix} 7 & k & 4+k & | & 12 \\ 0 & k & -3-6k & | & -9 \\ 0 & -k^2 & 21-11k-k^2 & | & 21-12k \end{pmatrix}$
Y ahora...
$F_3 + kF_2 \Rightarrow F_3$
$\begin{pmatrix} 7 & k & 4+k & | & 12 \\ 0 & k & -3-6k & | & -9 \\ 0 & 0 & 21-14k-7k^2 & | & 21-21k \end{pmatrix}$
Al fiiiiiin, ya está escalonada 👉 Miramos la diagonal. Si todos los elementos de la diagonal son distintos de cero, entonces nuestro sistema es un SCD. Pidamos eso:
-> $k \neq 0$
-> $21-14k-7k^2 \neq 0 \Rightarrow$ Es una cuadrática, usando la resolvente obtenemos $k \neq -3$ y $k \neq 1$
Por lo tanto, nuestro sistema es un SCD si $k \neq 0, 1, -3$.
Ahora analizamos los casos $k = 0$, $k = 1$ y $k = -3$ para clasificar el sistema en estos casos.
Caso k = 0
$\begin{pmatrix} 7 & 0 & 4 & | & 12 \\ 0 & 0 & -3 & | & -9 \\ 0 & 0 & 21 & | & 21 \end{pmatrix}$
Esto no está escalonado, hace falta hacer una operación más: $F_3 + 7F_2 \Rightarrow F_3$
$\begin{pmatrix} 7 & 0 & 4 & | & 12 \\ 0 & 0 & -3 & | & -9 \\ 0 & 0 & 0 & | & -42 \end{pmatrix}$
Viendo esto nos damos cuenta que se trata de un sistema incompatible, porque la última ecuación del sistema sería un absurdo, $0 = -42$.
Por lo tanto, para $k=0$, el sistema es un SI.
Caso k = 1
$\begin{pmatrix} 7 & 1 & 5 & | & 12 \\ 0 & 1 & -9 & | & -9 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{pmatrix}$
En este caso nos queda una fila toda de ceros y el sistema equivalente escalonado tiene más cantidad de incógnitas que de ecuaciones (2 ecuaciones para 3 incógnitas). Por lo tanto, para $k=1$, el sistema es un SCI.
Caso k = -3
$\begin{pmatrix} 7 & -3 & 1 & | & 12 \\ 0 & -3 & 15 & | & -9 \\ 0 & 0 & 0 & | & 84 \end{pmatrix}$
Viendo esto nos damos cuenta que se trata de un sistema incompatible, porque la última ecuación del sistema sería un absurdo.
Por lo tanto, para $k=-3$, el sistema es un SI. Recapitulando todo tenemos que:
-> Es un SCD si $k \neq 0, 1, -3$
-> Es un SI si $k = 0$ o $k = -3$
-> Es un SCI si $k = 1$
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